二次型 | Notion 博客

目录：点我

思维导图下载：点我

二次型

一、定义

1. 定义：

含有个变量的二次齐次函数

称为元二次型。若规定，则二次型有矩阵表示其中且是对称矩阵，称为二次型的矩阵。秩称为二次型的秩，记为 .

2. 定义：

如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项的系数全是 0 ，即：这样的二次型称为标准型。

在标准型中，若平方项的系数为 1 ，-1 或 0 ，即：则称其为二次型的规范型。

3. 定义：

在二次型的标准型中，正平方项的个数称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数称为二次型的负惯性指数。

4. 定义：

如果满足称该式为由到的坐标变换。

注：该式（坐标变换）用矩阵表示：或其中是可逆矩阵。

5. 定义：

两个矩阵和，如果存在可逆矩阵，使得：就称矩阵和合同，记作 . 并称由和的变换为合同变换，称为合同变换的矩阵。

6. 定义：

对二次型，如果对任何，恒有，则称二次型是正定二次型，并称实对称矩阵是正定矩阵。

二、定理

1. 定理：

变量的元二次型经坐标变换后，化为变量的元二次型，其中。

注意，元二次型经坐标变换，有：其中 .

因为：说明是二次型的矩阵表示。即以为自变量的二次型经坐标变换化为以为自变量的二次型。二次型矩阵由转换为，经坐标变换二次型矩阵是合同的。

特别地，若是正交变换，即是正交矩阵，则有：即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。

2. 定理：

任意的元二次型都可以通过坐标变换化为标准形：其中是实数。

3. 定理：

任一阶实对称矩阵，总可以合同于一个对角矩阵，即：

4. 惯性定理：

对于一个二次型，不论选取怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准形，其中正平方项的个数，负平方项的个数都是由所给二次型唯一确定的。

若二次型经坐标变换化为二次型，则有等价组：

与有相同的规范型。

5. 定理：

对任一个元二次型，其中是阶实对称矩阵，必存在正交变换（是正交矩阵），使得化为标准形：这里是的个特征值。

6. 定理：

元二次型正定的充分必要条件有：

的正惯性指数是；

与合同，即存在可逆矩阵，使；

的所有特征值均为正数；

的各阶顺序主子式均大于 0 。

推论：正定的必要条件是：