一元函数微分学的几何与物理应用

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一元函数微分学的几何与物理应用

一、研究对象

1. 祖孙三代

函数、导数、积分。

2. 分段函数

3. 参数方程

直角坐标和极坐标。

4. 隐函数

二、研究内容

1. 切线、法线、截距

切线斜率为一阶导数，法线斜率为切线斜率的负倒数，带值计算即可得到截距。

2. 极值、单调性

一阶导判单调性，一阶导存在且为 0 判极值，也就是说一阶导若不存在，则极值不存在。

1）判别极值的第一充分条件：

目标点处一阶导为 0；

目标点处两边一阶导数异号。

2）判别极值的第二充分条件：

目标点处二阶可导，且一阶导为 0 ，二阶导不为 0 ；

二阶导大于 0 ，取得极小值；

二阶导小于 0 ，取得极大值。

3）判别极值的第三充分条件：

目标点处 n 阶可导，且前 n-1 阶导数为 0 ，n 阶导数不为 0 ；

n 为偶数，且 n 阶导数大于 0 ，取得极小值；

n 为偶数，且 n 阶导数小于 0 ，取得极大值；

3. 拐点，凹凸性

将函数两端点所连直线的大小与函数中点的大小进行比较，若前者大于后者，则函数为凹的，反之为凸的。

连接曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。

二阶导判凹凸性，二阶导存在且为 0判拐点，也就是说二阶导若不存在，则拐点不存在。

1）判断拐点的第一充分条件：

目标点处二阶导为 0 ；

目标点处二阶导数异号。

2）判断拐点的第二充分条件：

目标点处（邻域）函数三阶可导；

目标点处二阶导为 0 ；

目标点处三阶导不为 0 。

3）判断拐点的第三充分条件：

目标点处 n 阶可导；

前 n-1 阶导数为 0 ，n 阶导数不为 0 ；

n 为奇数。

4. 渐近线

1）铅锤渐近线：

若（或），则为一条铅锤渐近线。

2）水平渐近线：

若，则为一条水平渐近线；若，则为一条水平渐近线；若，则为一条水平渐近线。

3）斜渐近线：

若，，则是曲线的一条渐近线；若，，则是曲线的一条渐近线；若，，则是曲线的一条渐近线。

5. 最值

极值不一定是最值，分界点、端点等可疑点也有可能是最值。

6. 曲率与曲率半径

7. 相关变化率

根据物理规律处理相关数据，最终得到正确的模型。