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一、概念和应用

1. 向量加法

2. 数乘向量

3. 向量乘积

二、定义

1. 设 是 n 维向量， 是一组实数，称 是 的线性组合。

2. 对 n 维向量 和 ，若存在实数 ，使得 ，则称 是 的线性组合，或者说 可由 线性表出。

3. 对 n 维向量 ，如果存在不全为 0 的数使得 ，则称向量组 线性相关，否则，称向量组 线性无关。

4. 设有两个 n 维向量组 (Ⅰ) ；(Ⅱ) ；如果 (Ⅰ) 中每个向量 都可由 (Ⅱ) 中的向量 线性表出，则称向量组 (Ⅰ) 可由向量组 (Ⅱ) 线性表出。如果这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。

5. 在向量组 中，若存在 r 个向量 线性无关，再加任一个向量 ，向量组 就线性相关，则称 是向量组 的一个极大线性无关组。

6. 向量组 的极大线性无关组中所含向量的个数 r 称为这个向量组的秩。

三、定理

1. 等价组：

• 向量 可由向量组 线性表出；

• 非齐次线性方程组 有解；

• 秩 .

2. 等价组：

• 向量组 线性相关；

• 齐次线性方程组 有非零解；

• 向量组的秩 .

• 推论： 个 维向量 线性相关的充分必要条件是行列式 .

• 推论： 个 维向量一定线性相关。

3. 定理：

• 任何部分组 相关等价于整体组 相关。

• 整体组 无关等价于任何部分组 无关。

4. 定理：

• 线性无关等价于延伸组 线性无关。

• 线性相关等价于缩短组 线性相关。

5. 定理：

6. 定理：

7. 定理：

• 如果向量组 可由向量组 线性表出，而且 ，那么 线性相关。即如果多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关。

• 推论：如果 线性相关，且它可由 线性表出，则 .

8. 定理：

• 设 可由 线性表出，则 .

• 推论：等价向量组的秩相等。

9. 定理：

• 如果 ，则 中有 个线性无关的列向量，而其他列向量都是这 个线性无关列向量的线性组合，也就是 的列秩。

• 一般地， 的行秩 的列秩。