特征值与特征向量

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特征值与特征向量

一、概念与应用

由可知：

，进而， .

，进而

由，其中 .

应用表：

二、定义

设是阶矩阵，如果存在一个数及非零的维列向量，使得成立，则称是矩阵的一个特征值，称非零向量是矩阵属于特征值的一个特征向量。

设为一个阶矩阵，则行列式称为矩阵的特征多项式，称为的特征方程。

设和都是阶矩阵，如果存在可逆矩阵，使得，则称矩阵和相似，记作 . 特别地，如果能与对角矩阵相似，则称可对角化。

三、定理

1. 定理：

如果都是矩阵的属于特征值的特征向量，那么当非零时，仍是矩阵属于特征值的特征向量。

2. 定理：

设是阶矩阵，是矩阵的特征值，则：

3. 定理：

如果是矩阵的互不相同的特征值，分别是与之对应的特征向量，则线性无关。

4. 定理：

如果是阶矩阵，是的重特征值，则属于的线性无关的特征向量的个数不超过个。

5. 定理：

如果阶矩阵与相似，则与由相同的特征多项式，从而与由相同的特征值。

即若，则 .

6. 定理：

阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。

7. 定理：

若阶矩阵有个不同的特征值，则可相似对角化，且

8. 定理：

阶矩阵可相似对角化的充分必要条件是对于的每个特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即有等价组：

是的重特征值，则有个线性无关的特征向量。

秩为重特征值。

9. 定理：

实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交。

10. 定理：

实对称矩阵的特征值都是实数。

11. 定理：

阶实对称阵必可对角化，且总存在正交阵，使得：其中是的特征值。

12. Schmidt 正交化方法：

如果向量组线性无关，令：那么两两正交，称为正交向量组。将其单位化有：则到这一过程为 Schmidt 正交化。