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线性方程组

一、概念

方程组 (1) 称为个未知数个方程的非齐次线性方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，可以等于，也可以大于或者小于，是第个方程中的系数，是第个方程的常数项。

如果，则称方程组 (2) 为齐次线性方程组。它是方程组 (1) 的导出组。

若将一组数分别代替方程组 (1) 中的，使式 (1) 中个等式都成立，则称有序数组是方程组 (1) 的一组解。解方程就是要找出方程组的全部解。

线性方程组 (1) 的全体系数及常数项所构成的矩阵称为方程组 (1) 的增广矩阵，而由全体系数组成的矩阵称为方程组 (1) 的系数矩阵。

方程组 (1) 可以用矩阵表示为：，其中， .

如果两个方程组有相同的解集合，则称它们是同解方程组。

二、定义

1. 下列三种变换称为线性方程组的初等变换：

用一个非零常数乘方程的两边；

把方程的倍加到另一方程上；

互换两个方程的位置。

线性方程组经初等变换化为阶梯型方程组后，每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称为自由变量。

2.基础解系：

向量组称为齐次线性方程组的基础解系，如果：

是的解；

线性无关；

的任一解都可由线性表出。

如果是齐次线性方程组的一组基础解系，那么对任意常数，是齐次方程组的通解。

注意：的基础解系是不唯一的。

三、定理

1. 定理：

线性方程组的初等行变换把线性方程组变成与它同解的方程组。

2. 定理：

设元线性方程组为 (1) ，对它的增广矩阵施行高斯消元法，得到阶梯形矩阵：如果，方程组 (1) 无解；如果，方程组有解，而且当时有唯一解，当时有无穷多解。

3. 等价组：

齐次方程组 (2) 有非零解；

的列向量线性相关。

推论：当（即方程的个数 < 未知数的个数）时，齐次线性方程组 (2) 必有非零解。

推论：当时，齐次线性方程组 (2) 有非零解的充分必要条件是行列式。

4. 定理：

设齐次线性方程组 (2) 系数矩阵的秩，则的基础解系由个线性无关的解向量所构成。

5. 有解判定定理：

非齐次线性方程组有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即 .

若，则方程组有唯一解；

若，则方程组有无穷多解。

等价组：

非齐次线性方程组无解；

不能由的列向量线性表出。

6. 解的性质：

如果是齐次线性方程组的两个解，那么其线性组合仍是该齐次线性方程组的解。

如果是线性方程组的两个解，则是导出组的解。

如果是线性方程组的解，是导出组的解，则是的解。

7. 解的结构：

对非齐次线性方程组，若，且已知是导出组，是的某个已知解，则的通解为：其中为任意常数。