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微分方程
一、一阶微分方程的求解
1. 可分离变量型
- 能写成： 则：
- 能写成 令： 则：
2. 齐次型
- 能写成： 令： 则：
- 能写成 令： 则：
3. 一阶线性型
能写成：
则：
二、二阶可降阶微分方程的求解
1. 赶尽杀绝
能写成：
缺
，令：
则解为：
即
，通解为：
2. 斩草除根
能写成：
缺
，令：
若求得其解为
，则：
分离变量得：
两边积分：
三、高阶常系数线性微分方程的求解
1. 齐次线性微分方程的通解
- 若，则是特征方程的两个不等实根，则通解为：
- 若，则是特征方程的两个相等实根，则通解为：
- 若，设是特征方程的一堆共轭复根，则通解为：
2. 非齐次线性微分方程的特解
- 当自由项时，特解要设为： 其中：
- 当自由项时，特解要设为： 其中：
3. 能写成
- 写，写齐次方程的通解
- 设特解，代回方程求待定系数，写出特解
- 写出通解
4. 能写成
- 写，写齐次方程的通解
- ，写出特解
- ，写出特解
- 为特解
- 写出通解
5. 能写成
用代换，化为上述情形，解出结果将回代
6. 的情形（反解）
如：
写为：
- 若为单实根，写：
- 若为重实根，写：
- 若为单复根，写：
四、换元法
- 求导公式逆用
- 自变量换元（有提示）
- 用因变量换元（有提示）
- 用地位互换来换元（有提示）
五、应用题
1. 用极限、导数定义或积分等式建立方程
2. 用几何应用建立方程
- 曲线切线斜率
- 两曲线公切线斜率
- 截距
- 面积
- 体积
- 平均值
- 弧长
- 侧面积
- 曲率
- 形心
3. 用变化率建立方程
- 元素衰变问题
- 人口增长问题
- 曳物线问题
- 冷却定律
- 牛顿第二定律
- 经济问题
原创存证 · 本地哈希 · 0eb01f965867...
算法:SHA-256
时间:2026-10-12
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